図3 : アナログデジタルコンバータの基本部品

ナイキスト・シャノンの標本化定理

情報理論と信号処理における基本的な考え方は、ナイキスト・シャノンの標本化定理であり、ナイキスト定理としても知られています。信号のサンプリング周波数と帯域幅の間に重要な相関関係を確立し、連続アナログ信号を離散デジタル信号に変換するための基礎を築きます。

この理論によれば、連続時間信号が帯域制限されており、サンプリングレートが信号帯域幅の少なくとも2倍 (またはベースバンド信号の場合は最高周波数成分の2倍) の場合、信号はサンプル中で一意に表現され、サンプルから回収される可能性があります。これは数学的には次のようにモデル化されます。

ここで、F_sはサンプリング周波数 (またはサンプリングレート) であり、F_maxはベースバンド信号に存在する最高周波数成分です。

この定理は、サンプルからの元のアナログ信号を完璧に再現するための前提条件を確立するために重要です。標本化定理が破れていると、元の信号を適切に回復することは不可能であり、情報は失われます。

ナイキストレート

ナイキスト・シャノンの標本化定理は「ナイキストレート」という語句の源であり、情報の損失を防ぐために信号をサンプリングしなければならない最低レートを表します。ベースバンド信号の最高周波数成分はナイキストレートの2倍です。

サンプリングレートがナイキストレート (別名「エイリアシング」と呼ばれる) よりも低い場合、高周波成分は低周波に反射され、再構成された信号に歪みが生じます。

ナイキストレートは理論的に完璧な再構成に使用される可能性のある最小サンプリングレートであることを覚えておくことが重要です。フィルタやその他の部品の実際の実装における不具合に対応するために、わずかに高いサンプルレートが利用されることがあります。

サンプリング

サンプリングプロセス

図4 : アナログ信号の定期的なサンプリング

連続アナログ信号はまずサンプリングによって離散デジタル信号に変換されます。この手順では、事前に設定された期間におけるアナログ信号の振幅の定期的な測定またはスナップショットが必要です。これらの画像またはサンプルの個別のデータポイントのセットは、デジタル領域における元の信号を反映します。サンプリングレートまたはサンプリング周波数は、これらの写真が撮影される周波数です。

数学的に言えば、「x(t)」が連続時間アナログ信号である場合、サンプリングされた信号「x[n]」は次のように表すことができます。

ここで、「T_s」はサンプリング期間 (連続したサンプル間の時間間隔)、「n」は整数、「x[n]」はn番目のサンプルにおける信号の値を表します。

実生活では、サンプル回路とホールド回路はサンプリングプロセスを実行するために一般的に使用されます。これらの回路は信号値を収集し、短時間保持します。

サンプリングレートとエイリアシング

ナイキスト・シャノンの定理によれば、ベースバンド信号を正確に表現するためには、サンプルレートは最高周波数成分の少なくとも2倍でなければなりません。エイリアシングは、サンプリングレートがこの制限 (ナイキストレート) を下回ると発生します。

エイリアシングと呼ばれる現象は、信号の高周波成分と低周波成分が互いに区別できない場合に発生します。本質的には、高い周波数は低い周波数に「折り返される」またはそれらに「エイリアス化」したりすることで、元の信号を歪めたり誤って表示したりします。これは、サンプルが低サンプリングレートで高周波成分の急速な変化を正確に記録できず、その変化がより遅いゆらぎのように見えるためです。

エイリアシングを防ぐために、サンプリングの前にアンチエイリアシングフィルタを適用するのが標準的な手順です。このローパスフィルタは、ナイキスト周波数より高い信号の高周波成分を除去または弱めます。

図5 : アンチエイリアシングフィルタ

量子化

量子化プロセス

量子化は、連続的なアナログ信号をデジタル信号に変換するための重要なステップとしてサンプリングの後に行われます。一連の値 (電圧レベルのような) は離散的な値の集合に量子化されます。アナログからデジタルへの変換プロセスでは、サンプリングされた各値は限られた数の離散レベルの中で最も近い値とマッチングされます。

サンプリングされた信号の振幅を連続的な幅として考えます。この幅は量子化された固定間隔に分割され、それぞれが異なるデジタルコードまたはレベルに対応します。これらの区間の量、または量子化レベルは、ビット単位で表される量子化分解能によって決定されます。例えば、サンプリングされた値を3ビット量子化器で変換できるレベルは、2^3=8個の異なるレベルがあります。

量子化誤差

図6 : 量子化誤差

量子化は値の連続的な集まりを離散集合に変換するので、当然、近似の不正確さが伴います。実際のサンプル値とそれがマッピングされている量子化された値との間の不一致は量子化誤差と呼ばれます。

量子化誤差の性質はほとんど予測不可能であるため、信号に追加されたノイズと考えることができます。しかし、それを検討し、その結果を認識することができます。誤差はしばしば量子化ステップサイズの± (1/2) に制限され、これは隣接する量子化レベル間の分離です。

量子化レベルと分解能

既に確立されているように、量子化器の分解能は通常ビットで測定され、量子化レベルの数を決定します。量子化レベルの数は分解能とともに増加しますが、量子化誤差は減少します。Nビット量子化器には2^Nの量子化レベルがあります。例えば、8ビット量子化器は、2^8 = 256のレベルを持っています。

信号範囲を量子化レベルの量で割った値が量子化ステップサイズになります。例えば、ステップサイズは0から10ボルトの範囲で256個の量子化レベルを持つ信号に対して10/256 ≈ 0.039ボルトになります。

忠実度の高いアプリケーションでは、量子化誤差を低減するため、高分解能量子化が好まれます。表現のために余分なビットも必要なため、帯域幅と記憶域のトレードオフになる可能性があります。

エンコーディング

バイナリエンコーディング

アナログ信号をデジタル信号に変換するプロセスは、アナログ信号がサンプリングされ量子化された後もエンコーディングを続けます。量子化された各値は、この方法でバイナリコードを使用して表されます。0と1の組み合わせを使用するバイナリエンコーディングの分解能は、この表現で使用されるビットの量に依存します。例えば、256 (2^8) 個の量子化レベルは8ビットで表すことができます。量子化された各サンプルには、異なるバイナリコードが割り当てられます。

実用的なADCでは、バイナリ符号化に2進数値 (base-2) がよく使用され、各ビットは2の累乗を表します。2^0の位置は最下位ビット (LSB) で表され、最上位ビット (MSB) は2の最大累乗を示します。サンプルの量子化された振幅は、バイナリ整数によってデジタル形式で直接表現されます。

圧縮技術

図7 : コンパンディング

状況によっては、アナログ信号の振幅幅が過度に広い場合や、信号の振幅変動が大きい場合があります。このような場合、リニアエンコーディングは信号表現の最も効果的な方法ではないかもしれません。このような状況では、コンパンディングがエンコーディングの効果を高めるために使用される技術かもしれません。

圧縮と伸張はコンパンディングプロセスで組み合わせられます。出力コードワードを入力アナログ振幅レベルに対数的にマッピングする技術です。これは、振幅が大きいほどエンコードは粗くなり、信号の振幅が小さいほど分解能が高くエンコードされることを意味します。

図8 : コンパンディングカーブ

量子化ノイズが低レベル信号に与える悪影響を軽減するために、μ-law (北米、日本、その他の地域でよく使われる) やA-law (ヨーロッパやその他の地域で使われる) のような標準化されたコンパンディング法則が電話システムで頻繁に使われています。

実用的な考慮事項とトレードオフ

実用的なアプリケーションでは、アナログ・デジタル変換プロセスの異なるステップのバランスを取らなければなりません。アプリケーションのニーズを満たすために、サンプルレート、量子化分解能、エンコーディングアプローチの選択に注意を払う必要があります。

エイリアシングを最小限に抑え、システムが必要なものだけを収集するようにするためには、適切なサンプルレートを選択することが重要です。これにより、ストレージと処理リソースの無駄を回避できる可能性があります。

量子化分解能を選択する際には、希望の信号品質を考慮する必要があります。より小さい量子化誤差は高い分解能で達成されますが、データセットが大きくなり変換レートが遅くなるという犠牲を払います。

エンコーディング方式を選択する際には、リニアとコンパンディングのどちらのエンコーディングを採用するかなど、信号の種類とアプリケーションを考慮する必要があります。

システムの性能、消費電力、コストは全てADCのアーキテクチャと設計の決定に大きく影響されます。

システム設計におけるその他の重要な要素には、ノイズ性能、フィルタリングの必要性、誤り訂正方法があります。